Задание 25 ОГЭ математика. Тема: окружность

Математика

Разберем подробно задачу повышенной сложности ОГЭ по математике. Кому интересны, какие задания решают школьники в 9 классе на экзамене, можете попробовать свои силы.

Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 16 и 48, вписаны в угол с вершиной A . Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K , пересекает стороны угла в точках B и C . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC .

Рисунок к задаче у меня получился такой:

Задание 25 ОГЭ математика. Тема: окружность

Помним: центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров треугольника АВС. Заметим, что АК из построения является биссектрисой, медианой и высотой треугольника АВС(△АВС – равнобедренный; АО- биссектриса ∠ВАС; ОК⊥ВС). Значит центр описанной окружности точка О₂ ∈ АК:

Задание 25 ОГЭ математика. Тема: окружность

Теперь задача сводится к тому, что необходимо найти отрезок O₂C. Он и есть искомый радиус.

Задание 25 ОГЭ математика. Тема: окружность

Теперь хорошо видно, что О₂C является гипотенузой треугольника О₂KC. Но, чтобы найти гипотенузу надо знать катеты или катет и острый угол треугольника.

Что же из этого можно найти из условия?

1) Попробуем сначала найти катет СК.

Для этого соединим центры построенных окружностей с точкой С:

Задание 25 ОГЭ математика. Тема: окружность

СО является биссектрисой ∠АСК; СО₁ – биссектрисой ∠KCD. Если вы этого не доказывали ранее, пробуйте доказать самостоятельно.

А биссектрисы смежных углов образуют угол 90⁰. Значит ∠ОСО₁ = 90⁰ и треугольник ОСО₁ прямоугольный с высотой проведенной из вершины прямого угла – СК. Вспоминаем про пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

СК²=ОК⋅КО₁;

CK=√(ОК⋅КО₁)=√(16⋅48)=√(16⋅16⋅3)=16√3

2) Выполним еще дополнительное построение: проведем радиус каждой окружности в точку касания.

Задание 25 ОГЭ математика. Тема: окружность

ОЕ⊥AD; О₁D⊥AD ⇒OE∥О₁D⇒△AOE~△AО₁D

OO₁=OK+KO₁=16+48=64

Обозначим AО=x. Тогда АО₁=x+64.

Т.к. △AOE~△AО₁D, то

AO:AO₁=OE:O₁D

или х:(х+64)=16:48

Раскрываем пропорцию и получаем, что

3х=х+64

2х=64

х=32.

Т.е. АО=32. Тогда находим АК. АК=АО+ОК=32+16=48.

Читайте также:  Дистант на две недели. Зачем такой ажиотаж?

3) Вернемся к поставленной задаче: к поиску О₂С.

Для этого заметим, что АО₂=О₂С, т.к. это радиусы описанной окружности. Обозначим эти отрезки за "у".

Задание 25 ОГЭ математика. Тема: окружность

Тогда катет О₂К=АК-AО₂, или О₂К=48-у

По теореме Пифагора:

О₂С²=О₂К²+СК²

у²=(48-у)²+(16√3)²

у²=48²-2⋅48⋅у+у²+16²⋅3

2⋅48⋅у=48²+16²⋅3

поделим и левую, и правую часть на 48

2y=48+16

2y=64

y=32.

О₂С=32

ОТВЕТ: 32

Если вы знаете того, кто готовится к ОГЭ не забудьте поделиться с ним этой информацией. Всегда пригодится.

Продолжение следует…

Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность

(✿◠‿◠)

Источник

Об авторе
Об авторе
Давно пишу статьи в журналах на разные тематики. Во время карантина захотела поделиться своим экспертным мнением для более полезного времяпровождения дома. Отдыхайте вместе со мной.

Оцените статью
Дома нескучно
Добавить комментарий