Решаем задачи на построение в модели Пуанкаре геометрии Лобачевского

Математика

Решаем задачи на построение в модели Пуанкаре геометрии Лобачевского

Для меня задачи на построение одни из самых захватывающих в геометрии. На всякий случай напомню, что задачи на построение содержат в условии: "С помощью циркуля и линейки постройте…". Обычно эти задачи не вызывают восторга у учащихся. Но для людей увлеченных геометрией они представляют особый интерес. Во-первых, потому что связывают с истоками геометрии, а во-вторых, позволяют лучше понять, как устроена эта наука.

Сегодня предлагаю посмотреть как решаются базовые задачи на построение (середина отрезка, биссектриса угла) в геометрии Лобачевского с использованием модели Пуанкаре в верхней полуплоскости.

Для начала нам понадобятся некоторые базовые понятия.

1. Под равенством фигур будем понимать их конгруэнтность, т.е. существование некоего движения, которое переводит одну фигуру в другую.

2. Любое движение плоскости может быть представлено в виде композиции осевых симметрий.

3. Осевой симметрией плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре относительно евклидовой полуокружности будет инверсия относительно окружности на которой лежит эта полуокружность.

4. Осевой симметрией плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре относительно евклидова перпендикуляра будет осевая симметрия в евклидовом смысле.

Пожалуй, теперь можем приступать к построению. Начнём с середины отрезка. Если концы отрезка лежат на евклидовом перпендикуляре, построение середины выполняется тривиальным образом, как в евклидовой геометрии.

Решаем задачи на построение в модели Пуанкаре геометрии Лобачевского

Поэтому будем рассматривать случай с полуокружностью.

Середина отрезка CD это точка, которая лежит между концами отрезка и делит его на два равных "конгруэнтных" отрезка. Значит нам нужно движение, при котором один конец отрезка переходит в другой. Следовательно, нужно построить окружность с центром на абсолюте, инверсия относительно которой переведёт один конец отрезка в другой, т.е. необходимо найти такую точку О, чтобы выполнялось равенство OC · OD = r². Чтобы найти такую точку, воспользуемся теоремой: квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.

Читайте также:  Задача о 2-х мухах. Как мотивировать ребенка учиться?

Все теоретические данные мы выяснили, можем перейти к построению.

1) Продлим отрезок СD до пересечения с абсолютом. Обозначим полученную точку О.

Решаем задачи на построение в модели Пуанкаре геометрии Лобачевского

2) Через точку О проведем касательную к прямой (полуокружности в евклидовом смысле). E – точка касания.

Решаем задачи на построение в модели Пуанкаре геометрии Лобачевского

3) Построим полуокружность с центром в точке О и радиусом ОЕ. Она будет осью симметрии в неевклидовом смысле для точек С и D. Таким образом точка E – середина отрезка CD.

Решаем задачи на построение в модели Пуанкаре геометрии Лобачевского

Перейдем к построению биссектрисы углы. Угол между двумя полуокружностями определяется как угол между касательными. А значит мы можем построить биссектрису угла между касательными, а затем провести полуокружность, которая будет касаться построенной прямой в вершине угла. Для этого воспользуемся теоремой о радиусе проведенном в точку касания.

1) Проведем касательные к полуокружностям через вершину угла.

Решаем задачи на построение в модели Пуанкаре геометрии Лобачевского

2) Построим биссектрису угла между касательными.

Решаем задачи на построение в модели Пуанкаре геометрии Лобачевского

3) Проведем полуокружность, которая касается биссектрисы в точке F. Эта полуокружность и будет искомой биссектрисой угла в смысле геометрии Лобачевского.

Решаем задачи на построение в модели Пуанкаре геометрии Лобачевского

Я воздержалась от подробного описания построений биссектрисы угла и касательной к окружности в евклидовом смысле, чтобы не сильно затруднять чтение. Надеюсь, вы поверите мне на слово, что эти построения реализуются с использованием только циркуля и линейки.

Источник

Об авторе
Об авторе
Давно пишу статьи в журналах на разные тематики. Во время карантина захотела поделиться своим экспертным мнением для более полезного времяпровождения дома. Отдыхайте вместе со мной.

Оцените статью
Дома нескучно
Добавить комментарий