Просто теорема Менелая / Задание №25 / ОГЭ

Обучение

Как сказал читатель канала под одной из публикаций: «».

Утверждение, конечно, спорное и имелись ввиду (смею предположить) уважаемые . Они бы через пропорциональные отрезки доказали. Но для нас это уже не принципиально, так как товарищи девятиклассники, которые готовятся к сдаче ОГЭ – уж точно бывали и семи- и восьмиклассниками.

Дополнительно ещё, «бонусом», рассмотрим способ через площади (публикация была, кстати, о площадях), который точно можно использовать восьмиклассникам и без доказательства неведомой теоремы.

Приступим?

Задача

Просто теорема Менелая / Задание №25 / ОГЭ

Рассуждение

  • Биссектриса – это крыса… Делит угол пополам, но это вторая часть, задача , значит дело скорее в другом (пропорциональные отрезки).
  • Медиана делит сторону пополам. Можно было сразу вспомнить про свойство пересекающихся медиан (отношение 2 : 1 от вершины), но она у нас только одна.
  • А еще они (биссектриса и медиана) перпендикулярны и равны.

Решение

Начнём, как всегда, с рисунка. Тут начать лучше с перпендикулярных биссектрисы и медианы, которые ещё и равны. Так у нас уже будут вершины A и B. Потом попробовать провести сторону BC через точку D так, чтобы она делилась пополам – BD = DC. И уже потом соединить все три вершины. А если ещё немного подумать и вспомнить все , то можно нарисовать очень точный рисунок:

Просто теорема Менелая / Задание №25 / ОГЭ

На рис. 2 видно, что биссектриса BE, а точнее её часть – BH, является в треугольнике ∆BAD (признак равнобедренного треугольника). Отсюда равенства:

BA = BD;

AH = HD.

Просто теорема Менелая / Задание №25 / ОГЭ

Рассмотрим треугольник ∆ABC, в котором биссектриса BE делит противолежащую сторону AC на отрезки AE и EC, пропорциональные прилежащим сторонам (свойство биссектрисы треугольника):

AE : EC = AB : CB = 1 : 2.

Из последнего отношения можно сделать вывод, что:

Если AE : EC = 1 : 2, то AE : AC = 1 : 3.

Читайте также:  Дистанционное обучение закончилось. И чего все так жаловались на него

И вот мы подошли к . Рассмотрим треугольник ∆BEC, в котором точки D и H лежат на сторонах BC и BE соответственно, а точка A – на продолжении стороны CE.

Просто теорема Менелая / Задание №25 / ОГЭ

А по условию AD – медиана, которой принадлежат точки A, H и D. Значит верно и следующее равенство:

Просто теорема Менелая / Задание №25 / ОГЭ

В этом выражении нам известно:

CD : DB = 1 : 1 – т.к. равные отрезки;

AE : AC = 1 : 3 – по следствию из свойства биссектрисы (под рис. 3).

Значит BH : HE = 3 : 1. Вместе они – отрезок BE (равный 24), можно найти BH и BE:

BH = 18;

HE = 6.

Далее сперва в ∆ABH, а потом в ∆AEH находим AB и AE соответственно. И по известным уже отношениям узнаём все стороны треугольника ∆ABC.

AB = 6√13;

BC = 2AB = 12√13;

AE = 6√5;

AC = 3AE = 18√5.

Ответ: 6√13; 12√13; 18√5.

Бонус

Решить можно и через площади. Для этого рассмотрим три равновеликих (равных по площади) треугольника: ∆AEB, ∆BED и ∆DEC.

Просто теорема Менелая / Задание №25 / ОГЭ

Площади первых двух (∆AEB и ∆BED) равны, потому что треугольники равны (). Площади последних двух (∆BED и ∆DEC) равны – по свойству медианы (). Площадь одного из треугольников можно найти через ∆BAE:

S = 1/2 • BE • AH = 144.

Площадь трёх треугольников будет равняться:

144 • 3 = 432.

Рассмотрим ещё пару равновеликих треугольников:

Просто теорема Менелая / Задание №25 / ОГЭ

Площадь ∆BAD равна половине площади ∆ABC:

S = 1/2 • AD • BH = 216 – отсюда найдём BH, потом HE и далее через – все стороны.

Заключение

Для первого способа пригодились следующие знания:

  • Признаки равнобедренного треугольника;
  • Свойство биссектрисы треугольника;
  • Теорема Менелая;
  • Теорема Пифагора;

Для второго немного меньше:

  • Признаки равнобедренного треугольника;
  • Признаки равенство треугольников;
  • Формула площади треугольника;
  • Теорема Пифагора.

Применение

Как Вам задача? Какой способ лучше? Каким способом решаете Вы?

Читайте также:  Так сколько предметов сдавать по ЕГЭ? Сергей Кравцов ещё добавил дров в неопределённость.

Источник

Об авторе
Об авторе
Давно пишу статьи в журналах на разные тематики. Во время карантина захотела поделиться своим экспертным мнением для более полезного времяпровождения дома. Отдыхайте вместе со мной.

Оцените статью
Дома нескучно
Добавить комментарий