Математика ОГЭ и ЕГЭ. Геометрия. Задача на свойства биссектрисы и медианы треугольника. Простое решение.

Математика ОГЭ и ЕГЭ. Геометрия. Задача на свойства биссектрисы и медианы треугольника. Простое решение. Математика

3 дня назад

Площадь треугольника ABC равна 80. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E , при этом BD : CD = 1 : 3. Найдите площадь четырехугольника EDCK .

Математика ОГЭ и ЕГЭ. Геометрия. Задача на свойства биссектрисы и медианы треугольника. Простое решение.

В целом в ОГЭ и ЕГЭ довольно часто встречаются задания на свойства медиан и биссектрис треугольников. Давайте вспомним их.

1. Медиана

Это отрезок соединяющий вершину угла и середину противоположной (углу) стороны.

Свойство: медиана делит треугольник на два равновеликих по площади треугольника

В нашем случае площадь треугольника АВК и КВС равны, и, таким образом, площадь каждого равна 0,5 от площади АВС.

2. Биссектриса

Биссектриса угла – это луч, выходящий из угла и делящий этот угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину угла с противоположной стороной.

Свойство: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные сторонам угла. Очень многие его не помнят, а оно крайне важно.

В случае нашей задачи получаем, что АВ:АС=ВD:CD. Вносим в рисунок.

Математика ОГЭ и ЕГЭ. Геометрия. Задача на свойства биссектрисы и медианы треугольника. Простое решение.

Если мы обозначим BD через k, то СD будет равно 3k по условию задачи (соотношение 1:3). А это значит, исходя из свойств биссектрисы, что и АС у нас в 3 раза больше, чем АВ. Тогда, обозначив АВ за Х, получим, что АС у нас это 3Х. Но если точка К – середина АС, значи АК = АС = 1,5Х. Ну и отметим, что BC = 3k + k = 4k.

Таким образом, можно сказать, что DC = 3/4 BC. Это пригодится.

Итак, пропорции обозначены, можно начать работать с площадями.

Математика ОГЭ и ЕГЭ. Геометрия. Задача на свойства биссектрисы и медианы треугольника. Простое решение.

Для визуального удобства можно продлить сторону ВС до пересечения с высотой, опущенной из точки А. Тогда будет легко выразить площадь треугольника АDC через площадь треугольника ABC. Так как DC это 3/4 от ВС, то а высота у этих треугольников (АВС и АDC) общая (h), то площадь S(АDC) = 3/4 S(ABC).

Читайте также:  Функциональный тренинг – нелепость, маркетинг или природа человека. Предлагаю 20 вариантов ответа

Если нам теперь удастся узнать площадь треугольника АЕК, то, вычтя ее из АDC, мы получим площадь искомого четырехугольника EDCK.

Как это сделать?

Во-первых, площадь АВК также равна 1/2 площади АВС, так как ВК – медиана, помните про ее свойство делить треугольники на два равных по площади?

Остается найти площадь АЕК. Как это сделать?

Совершенно верно, снова пользуемся свойством биссектрисы. Ведь АЕ – тоже биссектриса треугольника АВК!

Математика ОГЭ и ЕГЭ. Геометрия. Задача на свойства биссектрисы и медианы треугольника. Простое решение.

На рисунке видите, что мы поступаем аналогичным образом – выражаем площади соответствующих треугольников АВК и АЕК через основания ВК и ЕК и высоту h1. Через это находим, что площадь АЕК, которую мы хотели найти, равна 3/10 площади АВС.

Остается вычесть полученную площадь из найденной площади треугольника АDC и вычислить!

Математика ОГЭ и ЕГЭ. Геометрия. Задача на свойства биссектрисы и медианы треугольника. Простое решение.

Итак, площадь искомого 4-угольника равна 36. Это ответ.

В этой задаче мы применяли свойство медиан и биссектрис. А также то, что мы можем выбирать, какую сторону мы принимаем за "основание" треугольника для рассчета площади. Плюс использовали треугольники с одинаковой высотой для сравнения площадей. Всё!

  • Поделитесь, пожалуйста, все ли было понятно?
  • Есть ли желание что-то добавить?

От души желаю успехов в учебе и экзаменах, и до встречи!

Математика ОГЭ и ЕГЭ. Геометрия. Задача на свойства биссектрисы и медианы треугольника. Простое решение.

Источник

Об авторе
Об авторе
Давно пишу статьи в журналах на разные тематики. Во время карантина захотела поделиться своим экспертным мнением для более полезного времяпровождения дома. Отдыхайте вместе со мной.
Оцените статью
Дома нескучно
Добавить комментарий