Математика ОГЭ и ЕГЭ. Геометрия. Задача на свойства биссектрисы и медианы треугольника. Простое решение.

Математика

3 дня назад

Площадь треугольника ABC равна 80. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E , при этом BD : CD = 1 : 3. Найдите площадь четырехугольника EDCK .

Математика ОГЭ и ЕГЭ. Геометрия. Задача на свойства биссектрисы и медианы треугольника. Простое решение.

В целом в ОГЭ и ЕГЭ довольно часто встречаются задания на свойства медиан и биссектрис треугольников. Давайте вспомним их.

1. Медиана

Это отрезок соединяющий вершину угла и середину противоположной (углу) стороны.

Свойство: медиана делит треугольник на два равновеликих по площади треугольника

В нашем случае площадь треугольника АВК и КВС равны, и, таким образом, площадь каждого равна 0,5 от площади АВС.

2. Биссектриса

Биссектриса угла – это луч, выходящий из угла и делящий этот угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину угла с противоположной стороной.

Свойство: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные сторонам угла. Очень многие его не помнят, а оно крайне важно.

В случае нашей задачи получаем, что АВ:АС=ВD:CD. Вносим в рисунок.

Математика ОГЭ и ЕГЭ. Геометрия. Задача на свойства биссектрисы и медианы треугольника. Простое решение.

Если мы обозначим BD через k, то СD будет равно 3k по условию задачи (соотношение 1:3). А это значит, исходя из свойств биссектрисы, что и АС у нас в 3 раза больше, чем АВ. Тогда, обозначив АВ за Х, получим, что АС у нас это 3Х. Но если точка К – середина АС, значи АК = АС = 1,5Х. Ну и отметим, что BC = 3k + k = 4k.

Таким образом, можно сказать, что DC = 3/4 BC. Это пригодится.

Итак, пропорции обозначены, можно начать работать с площадями.

Математика ОГЭ и ЕГЭ. Геометрия. Задача на свойства биссектрисы и медианы треугольника. Простое решение.

Для визуального удобства можно продлить сторону ВС до пересечения с высотой, опущенной из точки А. Тогда будет легко выразить площадь треугольника АDC через площадь треугольника ABC. Так как DC это 3/4 от ВС, то а высота у этих треугольников (АВС и АDC) общая (h), то площадь S(АDC) = 3/4 S(ABC).

Читайте также:  Что думают родители о возможной отмене ОГЭ и ЕГЭ

Если нам теперь удастся узнать площадь треугольника АЕК, то, вычтя ее из АDC, мы получим площадь искомого четырехугольника EDCK.

Как это сделать?

Во-первых, площадь АВК также равна 1/2 площади АВС, так как ВК – медиана, помните про ее свойство делить треугольники на два равных по площади?

Остается найти площадь АЕК. Как это сделать?

Совершенно верно, снова пользуемся свойством биссектрисы. Ведь АЕ – тоже биссектриса треугольника АВК!

Математика ОГЭ и ЕГЭ. Геометрия. Задача на свойства биссектрисы и медианы треугольника. Простое решение.

На рисунке видите, что мы поступаем аналогичным образом – выражаем площади соответствующих треугольников АВК и АЕК через основания ВК и ЕК и высоту h1. Через это находим, что площадь АЕК, которую мы хотели найти, равна 3/10 площади АВС.

Остается вычесть полученную площадь из найденной площади треугольника АDC и вычислить!

Математика ОГЭ и ЕГЭ. Геометрия. Задача на свойства биссектрисы и медианы треугольника. Простое решение.

Итак, площадь искомого 4-угольника равна 36. Это ответ.

В этой задаче мы применяли свойство медиан и биссектрис. А также то, что мы можем выбирать, какую сторону мы принимаем за "основание" треугольника для рассчета площади. Плюс использовали треугольники с одинаковой высотой для сравнения площадей. Всё!

  • Поделитесь, пожалуйста, все ли было понятно?
  • Есть ли желание что-то добавить?

От души желаю успехов в учебе и экзаменах, и до встречи!

Математика ОГЭ и ЕГЭ. Геометрия. Задача на свойства биссектрисы и медианы треугольника. Простое решение.

Источник

Об авторе
Об авторе
Давно пишу статьи в журналах на разные тематики. Во время карантина захотела поделиться своим экспертным мнением для более полезного времяпровождения дома. Отдыхайте вместе со мной.
Оцените статью
Дома нескучно
Добавить комментарий