Интересная олимпиадная задача по геометрии

Математика

Данная задача взята из конкурса Кенгуру-2020

Задача

AB – диаметр круга. От точки А до точки B нарисован зигзаг. Все указанные углы α равны. Чему равен угол α ?

Интересная олимпиадная задача по геометрии

Рисунок к задаче

После нескольких минут размышления мне пришло в голову два решения. Первое было, как всегда, сложнее, чем второе. Но сначала я предлагаю вам остановиться на этом моменте, взять черновик в руки и подумать самостоятельно! После картинки будет разбор и два способа решения.

Интересная олимпиадная задача по геометрии

Немного подумаем… Далее разбор. НЕ ЛИСТАЙ ДАЛЬШЕ, ЕСЛИ ХОЧЕШЬ ПОДУМАТЬ ЕЩЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО.

Решение ( Способ № 1 )

Возьмем синий и фиолетовый треугольники. Из △KMO найдем y. Из △ACO найдем AC, затем, зная AC, используя △ACK найдем x. Очевидно, что x + y = R. Подставив их выраженные значения, получим уравнение относительно cosα. Так как 0° < α < 90°, то 0 < cosα < 1. Зная косинус, находим угол α.

Интересная олимпиадная задача по геометрии

Способ решения № 1

Учитывая специфику олимпиадных задач, я понял, что данное решение слишком закрученное. Может быть в нем не хватает простоты? Может быть можно решить без использования обратных тригонометрических функций? На эту мысль меня наводил вот такой вот хороший ответ в виде 72°

И да, оказывается, такое решение есть…

Решение ( Способ № 2 )

В качестве дополнительного построения, проведем некоторые прямые зигзага до пересечения с другой половиной окружности. Вспомним, что вписанный угол равен половине длины градусной меры дуги, на которую он опирается. Следовательно, дуга равна двум удвоенному вписанному углу, который её содержит. Из бордовой, зеленой и желтой дуги собирается ровно половина окружности, то есть дуга в 180°. Угол φ и β легко выражаются из равнобедренного и прямоугольного(красного) треугольника. Далее составляется линейное уравнение, из которого сразу находится угол α.

Читайте также:  Как после СО даётся учёба в вузе

Интересная олимпиадная задача по геометрии

Способ решения № 2

Есть ли еще какой-нибудь способ решения данной задачи? Придумали свой – напишите в комментариях.

Понравился разбор задачи? Проявите активность: лайк, репост, комментарий.

Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK

Источник

Об авторе
Об авторе
Давно пишу статьи в журналах на разные тематики. Во время карантина захотела поделиться своим экспертным мнением для более полезного времяпровождения дома. Отдыхайте вместе со мной.

Оцените статью
Дома нескучно
Добавить комментарий