Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Лайфаки для студентов»
Чему равен интеграл от тангенса?Здравствуйте, уважаемые любители математики!
Первый способ – самый простой и самый распространенный. Тангенс расписывается через синус и косинус, затем числитель вносится под знак дифференциала. Далее получается табличный интеграл.
Вариант этого же метода – принять cos за новую переменную.
Самый простой способ вычисления интеграла
Во втором способе принимаем тангенс за , после преобразований получается этот же табличный интеграл.
После интегрирования аргумент натурального логарифма положителен, поэтому модуль опускаем.
Он появляется вновь после «спускания вниз» четной степени, так как cos^2 (x)>0, но cos x может быть как положительным, так и отрицательным.
Вычисление интеграла при помощи замены переменной t=tg x
Наконец, самый громоздкий, третий, способ основан на применении формул универсальной тригонометрической подстановки
Универсальная тригонометрическая подстановка
Вводим новую переменную и получаем интеграл от дробно-рациональной функции. Если внести числитель под знак дифференциала (или сделать еще одну замену переменной, взяв t^2, например, за z), то получим табличный интеграл.
Подлогарифмическое выражение легко упростить, если расписать тангенс через синус и косинус, привести выражения в числителе и знаменателе к общему знаменателю, а затем использовать формулу косинуса двойного угла.
Знак «минус» перед косинусом можно убрать потому, что он находится под знаком модуля.
Вычисление интеграла при помощи универсальной тригонометрической подстановки
Интересно вычисление интеграла от секанса и косеканса.
Чему равны интегралы от секанса и косеканса?
Один из способов разобран в статье на моем сайте. Заходите по ссылке, читайте.
Пишите в комментариях, какие еще способы вычисления интеграла от тангенса (котангенса), секанса (косеканса) знаете.
