3 способа вычисления интеграла от тангенса

Математика

Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Лайфаки для студентов»

3 способа вычисления интеграла от тангенса

Чему равен интеграл от тангенса?Здравствуйте, уважаемые любители математики!

Первый способ – самый простой и самый распространенный. Тангенс расписывается через синус и косинус, затем числитель вносится под знак дифференциала. Далее получается табличный интеграл.

Вариант этого же метода – принять cos за новую переменную.

3 способа вычисления интеграла от тангенса

Самый простой способ вычисления интеграла

Во втором способе принимаем тангенс за , после преобразований получается этот же табличный интеграл.

После интегрирования аргумент натурального логарифма положителен, поэтому модуль опускаем.

Он появляется вновь после «спускания вниз» четной степени, так как cos^2 (x)>0, но cos x может быть как положительным, так и отрицательным.

3 способа вычисления интеграла от тангенса

Вычисление интеграла при помощи замены переменной t=tg x

Наконец, самый громоздкий, третий, способ основан на применении формул универсальной тригонометрической подстановки

3 способа вычисления интеграла от тангенса

Универсальная тригонометрическая подстановка

Вводим новую переменную и получаем интеграл от дробно-рациональной функции. Если внести числитель под знак дифференциала (или сделать еще одну замену переменной, взяв t^2, например, за z), то получим табличный интеграл.

Подлогарифмическое выражение легко упростить, если расписать тангенс через синус и косинус, привести выражения в числителе и знаменателе к общему знаменателю, а затем использовать формулу косинуса двойного угла.

Знак «минус» перед косинусом можно убрать потому, что он находится под знаком модуля.

3 способа вычисления интеграла от тангенса

Вычисление интеграла при помощи универсальной тригонометрической подстановки

Интересно вычисление интеграла от секанса и косеканса.

3 способа вычисления интеграла от тангенса

Чему равны интегралы от секанса и косеканса?

Один из способов разобран в статье на моем сайте. Заходите по ссылке, читайте.

Пишите в комментариях, какие еще способы вычисления интеграла от тангенса (котангенса), секанса (косеканса) знаете.

Источник

Об авторе
Об авторе
Давно пишу статьи в журналах на разные тематики. Во время карантина захотела поделиться своим экспертным мнением для более полезного времяпровождения дома. Отдыхайте вместе со мной.

Оцените статью
Дома нескучно
Добавить комментарий